Question

Вычислить, используя формулу Муавра

Answer 1

Положим $z=1+i\sqrt{3}$. Модуль комплексного числа: $|z|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$,тогда $z=2\cdot \left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=2\left(\cos \dfrac{\pi}{3}+i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$

По формуле Муавра $z^{20}=2^{20}\left(\cos \dfrac{20\pi}{3}+i\sin\dfrac{20\pi}{3}\right)=2^{20}\left(-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Аналогично, положим $a=1-i$, тогда $|a|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}$, тогда $a=\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}-i\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$

Тогда по формуле Муавра

$a^{20}=2^{10}\left(\cos \left(-\dfrac{20\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\dfrac{20\pi}{4}\right)\right)=2^{10}\left(-1+0)=-2^{10}$

Окончательно получаем

$\left(\dfrac{1+i\sqrt{3}}{1-i}\right)^{20}=\dfrac{2^{20\cdot \left(-\dfrac{1}{2}}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)}{-2^{10}}=2^9\left(1-i\sqrt{3}\right)$