Question

Найдите общие решения диференцианьного уравнения
y'=6x^3
y'=3^x+y

Answer 1

y' = 6x^3

Интегрируя обе части уравнения, получим

$y=\displaystyle \int 6x^3dx=6\cdot \dfrac{x^4}{4}+C=\dfrac{3x^4}{2}+C$ — общее решение.

$y'=3^{x+y}$

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

$\dfrac{dy}{dx}=3^x\cdot 3^y~~~\Rightarrow~~~ \dfrac{dy}{3^y}=3^xdx~~~\Rightarrow~~~ \displaystyle \int 3^{-y}dy=\int 3^xdx\\ \\ -\dfrac{3^{-y}}{\ln 3}+C=\dfrac{3^x}{\ln 3}\\ \\ -3^{-y}+C\ln 3=3^x\\ \\ C\ln 3-3^x=3^{-y}\\ \\ \log_3(C\ln 3-3^x)=-y\\ \\ y=\log_3\dfrac{1}{C\ln 3-3^x}$