Question

Дана геометрическая прогрессия из трёх членов b1, b2, b3. Известно, что если b2 увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической, а если затем b3 увеличить на 64, то прогрессия снова станет геометрической. Найдите все возможные тройки b1, b2, b3. В ответе запишите произведение всех найденных чисел b3.

Answer 1

$b_1;b_2;b_3$ — геометрическая прогрессия. Пользуясь одним из свойств геометрической прогрессии $\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{b_3}{b_2}~~\Rightarrow~~~ b_2^2=b_3b_1$

$b_1;b_2+8;b_3$ — арифметическая прогрессия. Аналогично пользуясь одним из свойств арифметической прогрессии мы имеем

$b_2+8-b_1=b_3-b_2-8~~~\Rightarrow~~~ 2b_2-b_1-b_3=-16$

$b_1;b_2+8;b_3+64$ — геометрическая прогрессия. Аналогично имеем $\dfrac{b_2+8}{b_1}=\dfrac{b_3+64}{b_2+8}~~~\Rightarrow~~~ (b_2+8)^2=(b_3+64)b_1$

Решая систему уравнений $\begin{cases}&\text{}b_2^2=b_3b_1\\&\text{}2b_2-b_1-b_3=-16\\&\text{}(b_2+8)^2=b_1(b_3+64)\end{cases}$ мы получим $b_1=\dfrac{4}{9};~ b_2=-\dfrac{20}{9};~b_3=\dfrac{100}{9}$ или $b_1=4;~ b_2=12;~ b_3=36$

Произведение всех найденных чисел b3: $\dfrac{100}{9}\cdot 36=400$

Ответ: 400.