Question

В городе проживает n+1 человек. Один из них, узнав новость, сообщает её другому, тот - третьему и т.д, причем передача новости осуществляется таким образом: человек, которому сообщена новость, случайным образом выбирает одного из n жителей и сообщает ему, тот поступает так же и так далее. Найти вероятность того, что новость будет передана n раз без повторного сообщения её кому-нибудь. →С применением формул, подробным описанием

Answer 1

Давайте для начала формализуем условие. У насть есть вероятностное простравнство Ω. Что такое в нём исход? Исход - это как раз передача сообщения n раз. Исход можно закодировать последовательностью n+1 чисел. Каждое число в последовательности обозначает жителя, а следующее жителя которому будет передано сообщение. Получаем, что:

$\Omega = \{ (a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}) \,\, | \, \, a_i \neq a_{i+1} \}$

Из условия следует, что каждый исход равновероятен. $P(\omega) = \frac{1}{n^n}.$

Теперь посчитаем вероятность, что новость будет передана n раз без повторного сообщения её кому-нибудь. Обозначим это событие как A. Заметим, что каждый благоприятный исход (лежит в А) представляет собой перестановку (n+1)-го чисел. Всего таких перестановок $(n+1)!$ . Теперь можно считать вероятность:

$P(A) = \sum_{\omega \in A} P(\omega) = \frac{|A|}{n^n} = \frac{(n+1)!}{n^n}$