Question

Найдите площадь фигуры, образованной точками(x,y) декартовой плоскости , координаты которых удовлетворяют неравенству $x^{2} +y^{2}+20(x-|y|)\leq 0$ . Ответ округлите до сотых

Answer 1

Ответ:

1142 кв. единица

Пошаговое объяснение:

Дано множество заданное неравенством:

x²+y²+20·(x-|y|)≤0

Неравенство содержит модуль, поэтому рассмотрим случаи в зависимости от знака переменного y.

1) y<0. В силу этого |y| = -y. Тогда неравенство имеет вид:

x²+y²+20·(x-(-y))≤0

x²+2·10·x+100-100+y²+2·10·y+100-100≤0

(x+10)²+(y+10)²≤200

(x+10)²+(y+10)²≤(10·√2)²

Отсюда следует, что наша фигура - это круг с центром в точке (-10; -10) и радиусом R=10·√2 (R²=200), у которого отделена часть из-за y<0 в виде сегмента (см. рисунок 1, сегмент - жёлтый). Площадь S(y<0) этой фигуры можно определить как разность площадей круга и сегмента:

S(y<0)=Sкруг-Sсегмент=π·R²-Sсегмент=200·π-Sсегмент

Формула площади сегмента:

Sсегмент=$\frac{R^{2} }{2} (\frac{\pi \alpha }{180^{0} } -sin\alpha )$

Так как О₁0 является диагональю квадрата стороной 10, то половина угла α=45°, то есть α=90°. Тогда

Sсегмент=$\frac{200}{2} *(\frac{\pi *90^{0}  }{180^{0} } -sin90^{0} )=100*(\frac{\pi }{2}-1)=50*\pi -100$

Отсюда:

S(y<0)=200·π-(50·π-100)=200·π-50·π+100=150·π+100 кв. единица.

2) y≥0. В силу этого |y| = y. Тогда неравенство имеет вид:

x²+y²+20·(x-y)≤0

x²+2·10·x+100-100+y²-2·10·y+100-100≤0

(x+10)²+(y-10)²≤200

(x+10)²+(y-10)²≤(10·√2)²

Отсюда следует, что эта фигура тоже круг с центром в точке (-10; 10) и радиусом R=10·√2 (R²=200), у которого отделена часть из-за y≥0 в виде сегмента (см. рисунок 2, сегмент ниже оси Ох - жёлтый). Площадь S(y≥0) этой фигуры также определяется как разность площадей круга и сегмента. Поэтому как и выше получаем:

S(y≥0)=150·π+100 кв. единица.

Теперь сложив оба площади находим площадь фигуры, заданной неравенством x²+y²+20·(x-|y|)≤0:

S=S(y<0)+S(y≥0)=150·π+100+150·π+100=300·π+200 кв. единица.

Если положить, что π=3,14, то

S=300·3,14+200 кв. единица= 1142 кв. единица