Question

Помогите решить пожалуйста/интеграл

Answer 1

$f(x)=x^3,\:g(x)=cos(\dfrac{x}{2}),\:h(x)=\sqrt{4-x^2}\\ f(-x)=-f(x),\:g(-x)=g(x),\: h(-x)=h(x)=>f(-x)g(-x)h(-x)=-f(x)g(x)h(x)$

Значит $f(x)g(x)h(x)$ нечетная функция. Тогда интеграл нечетной функции $\int\limits_{-a}^a f(x)g(x)h(x)dx=0$

$\int\limits_{-2}^2(x^3cos(\dfrac{x}{2})+\dfrac{1}{2})*\sqrt{4-x^2}dx=\int\limits_{-2}^2x^3cos(\dfrac{x}{2})*\sqrt{4-x^2}dx+\int\limits_{-2}^2(\dfrac{1}{2})*\sqrt{4-x^2}dx=0+\dfrac{1}{2}*\int\limits_{-2}^2\sqrt{4-x^2}dx=\int\limits_{0}^2\sqrt{4-x^2}dx=(*)$

$(*)[x=2sint=>dx=2costdt]=\int\limits_{0}^{\pi/2}\sqrt{4-4sin^2t}*2costdt=\int\limits_{0}^{\pi/2}4cos^2tdt=\int\limits_{0}^{\pi/2}2(1+cos(2t))dt=2*({\pi/2}-0)+\int\limits_{0}^{\pi/2}cos(2t)d(2t)=\pi+\int\limits_{0}^{\pi}cosydy=\pi-siny|_0^{\pi}=\pi$