Question

ПЖ ПОМОГИТЕ.....Общая хорда двух пересекающихся окружностей проходит через их центр под углом 90 и 60 градусов. Найдите их радиусы. если расстояние между центрами окружности равно корень из 3 + 1.

Answer 1

Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углом 90° и 60°. Найдите их радиусы. если расстояние между центрами окружностей равно √3 + 1.

Ответ:

R = 2, CA = √2   или

$R=4+2\sqrt{3}$,     $CA=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Объяснение:

Возможны два варианта расположения окружностей.

1. Центры окружностей расположены по разные стороны от хорды.

ОА = ОВ = R, ∠АОВ = 60°, значит ΔАОВ равносторонний, тогда

АВ = R.

Отрезок, соединяющий центры окружностей, перпендикулярен их общей хорде и делит ее пополам.

ОН - высота и медиана равностороннего треугольника, значит

$OH=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}$

СН - медиана равнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, значит

$CH=\dfrac{R}{2}$

По условию ОС = √3 + 1. Составим уравнение:

$\dfrac{R\sqrt{3}}{2}+\dfrac{R}{2}=\sqrt{3}+1$

$\dfrac{R(\sqrt{3}+1)}{2}=\sqrt{3}+1$

$\dfrac{R}{2}=1$

R = 2

$CA=\dfrac{R}{\sqrt{2}}$ как катет равнобедренного треугольника.

$\boldsymbol{CA}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\boldsymbol{\sqrt{2}}$

2. Центры окружностей расположены по одну сторону от хорды.

Получим другое уравнение:

$\dfrac{R\sqrt{3}}{2}-\dfrac{R}{2}=\sqrt{3}+1$

$\dfrac{R(\sqrt{3}-1)}{2}=\sqrt{3}+1$

$\dfrac{R}{2}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

Избавимся от иррациональности:

$\dfrac{R}{2}=\dfrac{(\sqrt{3}+1)^{2}}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$

$\dfrac{R}{2}=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{2}$

$\boldsymbol{R=4+2\sqrt{3}}$

$\boldsymbol{CA=\dfrac{4+2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$