Question

Выразить $\sin^5(\varphi)$ и $\cos^5(\varphi)$ через первые степени синусов и косинусов аргументов, кртаных $\varphi$

Answer 1

Будем использовать формулу Эйлера:

$\sin \varphi=\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i};~~~ \cos\varphi=\dfrac{e^{i\varphi}+e^{-i\varphi}}{2}.$

И по формуле бинома Ньютона

$(a+ b)^5=a^5+5a^4b+10b^2a^3+10b^3a^2+5b^4a+b^5\\ (a-b)^5=a^5-5a^4b+10b^2a^3-10b^3a^2+5b^4a-b^5$

$\sin^5\varphi=\left(\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}\right)^5=\dfrac{1}{32i}(e^{i\varphi}-e^{-i\varphi})^5=\dfrac{1}{32i}\Big(e^{5i\varphi}-5e^{4i\varphi}e^{-i\varphi}+\\ \\ \\+10e^{-2i\varphi}e^{3i\varphi}-10e^{-3i\varphi}e^{2i\varphi}+5e^{-4i\varphi}e^{i\varphi}-e^{-5i\varphi}\Big)=\\ \\ \\=\dfrac{1}{32i}\Big(e^{5i\varphi}-e^{-5i\varphi}-5e^{3i\varphi}+5e^{-3i\varphi}+10e^{i\varphi}-10e^{-i\varphi}\Big)=\\ \\ \\=\dfrac{1}{16}\Big(\underbrace{\dfrac{e^{5i\varphi}-e^{-5i\varphi}}{2i}}_{\sin 5\varphi}-5\cdot \underbrace{\dfrac{e^{3i\varphi}-e^{-3i\varphi}}{2i}}_{\sin 3\varphi}+10\cdot \underbrace{\dfrac{e^{i\varphi}-e^{-i\varphi}}{2i}}_{\sin \varphi}\Big)=\\ \\ \\=\dfrac{1}{16}\Big(\sin5\varphi-5\sin3\varphi+10\sin\varphi\Big)$

Аналогично для $\cos^5\varphi$ также делается как и с синусом.

$\cos^5\varphi=\dfrac{1}{16}\Big(\cos5\varphi+5\cos3\varphi+10\cos \varphi\Big)$