Question

Найти область сходимости функционального ряда

Answer 1

Функциональный ряд имеет вид $\sum a_k(x-c)^k$. Приведем наш ряд к такому виду.

Ряд содержит лишь четные степени (x+3), а значит $a_k$ при нечетных $k$ можно взять равными 0. Т.е. $a_k=\left \{ {{0,\:k=2n+1} \atop {\dfrac{(n-2)^3}{2n+3},\:k=2n}} \right.$

Последовательность $a_k$ не имеет предела при $n\to\infty$, а значит необходимо использовать формулу Коши-Адамара.

Заметим, что последовательность $a_k$ можно разбить на две подпоследовательности с конечными пределами, выделив нулевую подпоследовательность.

Тогда $\overline{lim}_{k\to \infty} \sqrt[k]{a_k}=\left [ MAX:\left \{ {{lim_{n\to \infty}\sqrt[2n+1]{0}=0} \atop {lim_{n\to \infty}\sqrt[2n]{\dfrac{(n-2)^3}{2n+3}}=1}} \right. \right ]=1=>R=\dfrac{1}{\overline{lim}_{k\to \infty} \sqrt[k]{a_k}}=1$

Значит при $|x+3|<1$ ряд сходится.

Исследуем сходимость на концах.

Если $|x+3|=\pm 1$, получаем ряд $\sum \dfrac{(n-2)^3}{2n+3}}(\pm1)^{2n}=\sum \dfrac{(n-2)^3}{2n+3}}\\ lim_{n\to \infty}\dfrac{(n-2)^3}{2n+3}}=lim_{n\to \infty}\dfrac{n^3}{2n}}=+\infty$ - необходимое условие сходимости не выполнено, значит ряд расходится.

Ответ:$x\in(-4;\:-2)$