Question

$\frac{x}{y} - \frac{2y}{x} = 1 \\ {x}^{2} + 4xy - 3 {y}^{2} = 18$
Решите систему уравнений
​

Answer 1

$\left \{ {{\frac{x}{y}-\frac{2y}{x}=1 } \atop {x^2+4xy-3y^2=18}} \right.$

1) Работаем с первым уравнением.

$\frac{x}{y}-\frac{2y}{x}=1$     ОДЗ: $x\neq 0;y\neq 0$

Замена:

$\frac{x}{y}=t;$   $\frac{y}{x}=\frac{1}{t}$

$t-\frac{2}{t}=1$

$\frac{t^2-t-2}{t}=0$

$t^2-t-2=0$

$D=1-4*1*(-2)=1+8=9=3^2$

$t_1=\frac{1-3}{2}=\frac{-2}{2}=-1$

$t_2=\frac{1+3}{2}=\frac{4}{2}=2$

Замена:

$1)t_1=-1=>\frac{x}{y}=-1$

$x_1=-y$

$t_2=2=>\frac{x}{y}=2$

$x_2=2y$

2) Работаем со вторым уравнением.

Если $x_1=-y$, то можно найти $y_1$.

$(-y)^2+4*(-y)*y-3y^2=18$

$y^2-4y^2-3y^2=18$

$-6y^2=18$

$y^2=18:(-6)$

$y^2=-3<0$  нет корней

Если $x_2=2y$, то можно найти $y_2$.

$(2y)^2+4*2y*y-3y^2=18$

$4y^2+8y^2-3y^2=18$

$9y^2=18$

$y^2=18:9$

$y^2=2$

$y_1=-\sqrt{2}$;    $y_2=\sqrt{2}$

При $y_1=-\sqrt{2}$  =>  $x_1=2*(-\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$

При $y_2=\sqrt{2}$  =>  $x_2=2*\sqrt{2}=2\sqrt{2}$

Ответ: ($-2\sqrt{2}; -\sqrt{2}$);

           ($2\sqrt{2}; \sqrt{2}$)