Question

В базисе векторов p ⃗ и q ⃗: (|p ⃗ |=2,|q ⃗ |=3,∠p ⃗q ⃗=π/3)
заданы вектора a ⃗ и b ⃗:
a ⃗ = (m + 1) p ⃗ + n q ⃗
b ⃗ = n p ⃗ – (m+1) q ⃗
Найти косинус угла между векторами a ⃗ и b ⃗

Answer 1

Ответ:

cos∠(a,b)=(6·(n²-(m+1)²)-5·(m+1)·n)/(4·(m+1)²-9·n²)

Пошаговое объяснение:

Векторов выделим жирным шрифтом.

Скалярное произведение векторов a и b определяется по формуле:

(a, b) = |a|·|b|·cos∠(a,b),

где ∠(a,b) - угол между векторами a и b.

|a|²=(a, a) = ( (m+1)·p+n·q, (m+1)·p+n·q ) =(m+1)²·p²+2·(m+1)·n·(p,q)+n²·q²=

=(m+1)²·|p|²+2·(m+1)·n·(|p|·|q|·cos∠(p,q))+n²·|q|²=

=(m+1)²·2²+2·(m+1)·n·2·3·cos(π/3)+n²·3²=4·(m+1)²+12·(m+1)·n·1/2+9·n²=

=4·(m+1)²+6·(m+1)·n·+9·n²=(2·(m+1)+3·n)²

Тогда |a| = 2·(m+1)+3·n.

|b|²=(b, b) = ( n·p-(m+1)·q, n·p-(m+1)·q ) =n²·p²-2·(m+1)·n·(p,q)+(m+1)²·q²=

=n²·|p|²-2·(m+1)·n·(|p|·|q|·cos∠(p,q))+(m+1)²·|q|²=

=n²·2²-2·(m+1)·n·2·3·cos(π/3)+(m+1)²·3²=4·(m+1)²-12·(m+1)·n·1/2+9·n²=

=4·n²-6·(m+1)·n·+9·(m+1)²=(2·(m+1)-3·n)²

Тогда |b|=2·(m+1)-3·n.

С другой стороны:

(a, b) = ( (m+1)·p+n·q, n·p-(m+1)·q)= (m+1)·n·p²+n²·(q, p)-(m+1)²·(q,p)-(m+1)·n·q²=

=(m+1)·n·|p|²+(n²-(m+1)²)·(|p|·|q|·cos∠(p,q))-(m+1)·n·|q|²=

=(m+1)·n·2²+(n²-(m+1)²)·2·3·cos(π/3)-(m+1)·n·3²=(m+1)·n·(4-9)+(n²-(m+1)²)·6·1/2=

= -5·(m+1)·n+6·(n²-(m+1)²)

Тогда

-5·(m+1)·n+6·(n²-(m+1)²)=(2·(m+1)+3·n)·(2·(m+1)-3·n)·cos∠(a,b)

cos∠(a,b)·(2·(m+1)+3·n)·(2·(m+1)-3·n)= -5·(m+1)·n+6·(n²-(m+1)²)

cos∠(a,b)=(6·(n²-(m+1)²)-5·(m+1)·n)/((2·(m+1)+3·n)·(2·(m+1)-3·n)) или

cos∠(a,b)=(6·(n²-(m+1)²)-5·(m+1)·n)/(4·(m+1)²-9·n²)