Question

Бригада рабочих выполняет поставленную задачу за `15` дней. Если бригадир наймёт девять дополнительных рабочих, и при этом в день бригада будет работать на `2` часа меньше, то работа будет выполнена за `12` дней. Если же бригадир уволит пятерых рабочих из первоначального состава бригады, то, чтобы окончить работу за `20` дней, бригаде придётся трудиться на `2` часа в день больше. Сколько было рабочих и сколько часов в день они работали первоначально?

Answer 1

Ответ:

12 человек, в день работали 7 часов

Пошаговое объяснение:

Пусть рабочих первоначально было x человек в бригаде, причем в день они работали t часов. Получается, что первоначально бригада работала в течение 15t часов, то есть за 1 час выполнялась 1÷(15t) всей работы (мы приняли всю работу за 1), а производительность каждого рабочего была 1÷(15tx).

Если бригадир наймет 9 дополнительных рабочих, то у нас их будет (x + 9), работать они будут в течение 12 дней, работая каждый день на 2 ч меньше, то есть (t - 2). Получим уравнение:

$\dfrac{(x + 9) \cdot 12 \cdot (t - 2)}{15tx} = 1$

Если бригадир уволит 5 рабочих, то у нас их будет (x - 5), работать они будут в течение 20 дней по (t + 2) часа. Получим уравнение:

$\dfrac{(x - 5) \cdot 20 \cdot (t + 2)}{15tx} = 1$

В итоге, умножая каждое уравнение на знаменатель 15tx получаем систему:

$\left\{ \begin{array}{ll}12(x+9)(t-2)=15tx\\20(x-5)(t+2)=15tx\end{array}$

Сокращаем обе части 1-го уравнения на 3, а 2-го - на 5 получаем:

$\left\{ \begin{array}{ll}4(x+9)(t-2)=5tx\\4(x-5)(t+2)=3tx\end{array}$

Раскрываем скобки:

$\left\{ \begin{array}{ll}4xt-8x+36t-72=5xt\\4xt+8x-20t-40=3xt\end{array}$

Упрощаем:

$\left\{ \begin{array}{ll}xt+8x-36t+72=0\\xt+8x-20t-40=0\end{array}$

Вычитая из нижнего уравнения верхнее, получаем:

16t - 112 = 0

t = 112 ÷ 16

t = 7 часов

Подставляем найденное t в нижнее уравнение, получаем:

7x + 8x - 140 - 40 = 0

15x = 180

x = 180 ÷ 15

x = 12 человек