Question

На вращающийся горизонтальный диск кладут брусок, на него сверху кладут такой же брусок, привязанный нитью оси диска (рис. 35). При какой угловой скорости вращения диска нижний брусок выскользнет, если, когда он лежит один, то начинает скользить при угловой скорости W0? Коэффициенты трения между всеми поверхностями одинаковы.

Answer 1

Дано:

ω₀;

μ₁=μ₂=μ;

_________

Найти ω

Решение:

Изобразим все силы, действующие в системе в первом и втором случаях.

В первом случае уравнение второго закона Ньютона в проекциях на взаимно перпендикулярные направления примет вид

$\displaystyle$$\displaystyle -F_{TP}=-ma$     (1)

$\displaystyle N-mg=0$

Сила трения может быть найдена по закону Амонтона-Кулона

$\displaystyle F_{TP}=\mu N$          (2)

Силу нормального давления можно выразить из второго уравнения системы (1)

$\displaystyle N=mg$              (3)

Тогда, сила трения

$\displaystyle F_{TP}=\mu mg$         (4)

Ускорение a является центростремительным и может быть найдено по формуле

$\displaystyle a=\omega _0^2R$              (5)

Подставляя (4) и (5) в первое уравнение системы (1) и опуская знак минус получим

$\displaystyle \mu mg=m\omega_0^2R => \mu g=\omega_0^2R$       (6)

Во втором случае уравнение второго закона Ньютона для нижнего тела примет вид

$\displaystyle -F_{TP1}-F_{TP2}=-ma$               (7)

Здесь $\displaystyle F_{TP1}$ - сила трения, действующая на нижнее тело со стороны опоры, очевидно, что сила нормального давления, действующая со стороны опоры на нижний брусок, равна общему весу брусков $\displaystyle N=2mg$, таким образом $F_{TP1}=2\mu mg$. $\displaystyle F_{TP2}$ - сила трения, действующая на верхнюю грань нижнего бруска со стороны нижней грани верхнего. Очевидно, что верхний брусок прижат в нижнему с силой, равной его весу, таким образом $\displaystyle F_{TP2}=\mu P=\mu mg$. Подставляя все это в (7) и опуская знак минус, имеем

$\displaystyle 3\mu mg=m\omega^2R => 3\mu g=\omega^2R$   (8)

Но, обратим внимание, что $\mu g=\omega_0^2R$ в соответствии с (6), значит

$\displaystyle \omega^2R=3\omega_0^2R => \omega^2=3\omega_0^2 => \omega=\sqrt{3}\omega_0$.

Ответ: √3*ω₀ .