Question

Основания трапеции ABCD равны 5 и 20, а диагональ AC равна 10.
Докажите, что ACD подобен ABC.
Найдите расстояние между центрами вписанных в треугольники ABC и ACD окружностей, если одна из боковых сторон трапеции равна 7. Полученное значение возведите в квадрат, домножьте на 11 и запишите в ответ.

Answer 1

Ответ:

Доказательство в объяснении.

Ответ равен 260 ед.

Пошаговое объяснение:

1.  Одна из сторон трапеции равна 7 см. Это сторонв АВ, так как по теореме о неравенстве треугольника со сторонами 10ед, 20ед и 7ед  не существует.

Треугольники АВС и АСD подобны по признаку: "Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны".

ВС/AC = AC/AD = 2, а ∠АСВ = ∠СAD как внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD. Подобие доказано.

2. Периметр треугольника АВС равен 22 ед, полупериметр равен

p1=11 ед.

Периметр треугольника АСD равен 44 ед, полупериметр равен

p2=22 ед.

Тогда площадь треугольника АВС равна по Герону

Sabc = √(11·4·6·1) = 2√66 ед², а

радиус вписанной окружности в треугольник АВС равен

r1 = Sabc/p1 = 2√66/11 ед.

Для треугольника ACD радиус r2 = 4√66/11 ед, так как треугольники подобны с коэффициентом подобия k = 2.

Расстояние от вершины до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:

В треугольнике АВС AK =  p1 – BC = 11-5 = 6ед.

В треугольнике АСD CН =  p2 – AD = 22-20 = 2ед.  =>

КН = АС - АК - СН = 10 - 6 - 2 = 2 ед.

Прямоугольные треугольники КО1О и НО2О подобны по острому углу (∠КО1О и ∠НО2О - вертикальные) с коэффициентом подобия

k2 = r1/r2 = 2.

Тогда НО = 2·КО, а 3·КО = 2ед.  +> КО = 2/3 ед.

В прямоугольном треугольнике КО1О гипотенуза

О1О=√(r1²+KO²)=√(4·66/121+4/9)=√(260/99)=2√(65/99) ед.

В подобном ему треугольнике НО2О гипотенуза

О2О = 4√(65/99) ед.

Тогда отрезок О1О2 = 6√(65/99) ед.

Это расстояние между центрами вписанных окружностей. Тогда ответ по условию будет:

(36·65/99)·11 = 260 ед.