Question

y=x^3-2x^2+x
Исследуйте функцию и постройте её график
y=x^3-2x^2+x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) область определения: х ∈ R. Следовательно, точек разрыва и асимптот у графика нет.

2) исследуем функцию на четность. Вместо х подставляем -х:

y(-x) = (-x)³ - 2(-x)² + (-x) = -x³ - 2x² - x = -(x³ + 2x² + x) ≠ f(x) ≠ -f(x).

Так как ни одно из равенств f(-x) = f(x) и f(-x) = -f(x) не выполняется, функция является ни четной, ни нечетной.

3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

     с осью ОХ: у = 0;   x³ - 2x² + x = 0;   x(x² - 2x + 1) = 0;   x(x - 1)² = 0 ⇒ x = 0 или x = 1                         Искомые точки: (0; 0), (1; 0).

    с осью ОУ: х = 0;   y(0) = 0³ - 2 · 0² + 0 = 0. Искомая точка - (0; 0).

4) Найдем точки экстремума и экстремумы функции. Для этого сначала найдем производную:

y' = (x³ - 2x² + x)' = (x³)' - (2x²)' + x' = 3x² - 4x + 1.

Ищем критические точки. Таких, что в них производная не существует, у нас нет. Значит, ищем точки, в которых производная равна 0. Решаем уравнение y' = 0:

3x² - 4x + 1 = 0

D = b² - 4ac = (-4)² - 4 · 3 · 1 = 16 - 12 = 4

$x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+2}{6} = 1\\x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-2}{6}=\frac{1}{3}$.

Критические точки - x = 1, x = 1/3. Исследуем их.

При переходе через точку х = 1/3 производная меняет знак с плюса на минус, а при переходе через точку х = 1 - с минуса на плюс. Следовательно х = 1/3 - точка локального максимума, а х = 1 - точка локального минимума.

Ищем локальный минимум и локальный максимум функции. Для этого вместо х в первоначальную функцию подставляем х = 1/3 и х = 1

$y(1/3)=(\frac{1}{3})^3-2\cdot(\frac{1}{3})^2+\frac{1}{3}=\frac{1}{27} -\frac{2}{9} +\frac{1}{3}=\frac{1-6+9}{27}=\frac{4}{27}$ - локальный минимум.

$y(1) = 1^3 - 2\cdot 1^2+1=1-2+1=0$ - локальный минимум.

График - во вложении.