Question

Срочно!!! 100 баллов!!! найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям​

Answer 1

Ответ:

y=e⁻²ˣ+e²ˣ-2·x³-3·x

Пошаговое объяснение:

Дано линейное уравнение и начальные условия:

y''-4·y=8·x³, y(0)=2, y'(0)=-3

1) Сначала решаем линейное однородное уравнение

y''-4·y=0

Для этого составим и решим характеристическое уравнение:

λ²-4=0 ⇔ (λ+2)(λ-2)=0 ⇔ λ₁ = -2, λ₂ = 2

Получены два различных действительных корня, поэтому общее решение однородного уравнения:

y=C₁·e⁻²ˣ+C₂·e²ˣ

2) Теперь найдём частное решение y₁ неоднородного уравнения

y''-4·y=8·x³

Так как правая часть уравнения многочлен 8·x³, то будем искать в виде

y₁=A·x³+B·x²+C·x+D

Найдём первую и вторую производную:

y₁'=(A·x³+B·x²+C·x+D)=3·A·x²+2·B·x+C

y₁''=(3·A·x²+2·B·x+C)'=6·A·x+2·B

Подставим y₁ и y₁'' в левую часть неоднородного уравнения:

6·A·x+2·B-4·(A·x³+B·x²+C·x+D)=8·x³

Раскрываем скобки и упростим:

-4·A·x³-4·B·x²+(6·A-4·C)·x+2·B-4·D=8·x³

Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях и составим систему линейных уравнений и решаем:

-4·A=8 ⇒ A = -2

-4·B=0 ⇒ B = 0

6·A-4·C=0 ⇒ 4·C = 6·A ⇒ 4·C = 6·(-2) ⇒ 4·C = -12 ⇒ C = -3

2·B-4·D=0 ⇒ 4·D=2·B ⇒ 4·D=2·0 ⇒ D = 0

Получили частное решение

y₁= -2·x³-3·x

3) Тогда получим следующее общее решение

y=C₁·e⁻²ˣ+C₂·e²ˣ-2·x³-3·x

4) Применим начальные условия:

y(0)=C₁·e⁰+C₂·e⁰-2·0³-3·0=2 ⇒ C₁+C₂=2

y'=(C₁·e⁻²ˣ+C₂·e²ˣ-2·x³-3·x)'= -2·C₁·e⁻²ˣ+2·C₁·e²ˣ - 6·x²-3

y'(0)= -2·C₁·e⁰+2·C₂·e⁰ - 6·0²-3 = -3 ⇒ -2·C₁+2·C₂ - 3=-3 ⇒ C₁ -C₂ =0 ⇒ C₁=C₂

Получили систему линейных уравнений и решаем:

C₁ = C₂ =1

C₁ + C₂ =2 ⇒  C₂ + C₂ =2 ⇒ 2· C₂ =2 ⇒  C₂ =1

5) Подставляя C₁ и C₂ в общее решение получим

y=e⁻²ˣ+e²ˣ-2·x³-3·x