Question

В треугольнике одна из биссектрис перпендикулярная одной из медиан. Докажите, что в треугольнике есть пара сторон, длины которых отличаются в 2 раза. ​

Answer 1

Рассмотрим BOD и ABO треугольники.

Угол DOB=углу AOB=90°, т.к. ВF перпендикулярна AD

BO-общая

Угол DBO=углу АВО, т.к. BF-биссектриса угла В.

Значит, треугольники равны, след-но АВ=BD

Т.к. AD-медиана, то ВD=1/2 BC след.-но и AB=1/2 BC (BC=2AB), то есть, их длины различны в 2 раза.

Кстати, олимпиада?)