Question

В параллелограмме диагонали равны 2дм и 3дм а угол между ними-45 градусов . Найдите с точностью до 0,01 дм стороны параллелограмма

Answer 1

Дано:

ABCD - параллелограмм

AC = 2 дм

BD = 3 дм

∠BOA = 45°

Найти: AB, BC, CD, DA с точностю до 0.01 дм.

Решение: В параллелограмме диагонали пересекаются, и точкой пересечения делятся пополам ⇒ AO = OC = AC / 2 = 1 дм и BO = OD = BD / 2 = 1.5 дм

Рассмотрим ΔABO

Найдём сторону AB с помощью теоремы косинусов:

$c ^2 = a^2+b^2-2ab\cos \angle ab$

a = AO, b = BO, c = AB, cos ∠ab = cos ∠BOA

$\displaystyle AB^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos\angle BOA \\ \\ AB^2 = 1^2 + (1.5)^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1.5 \cdot \cos 45^\circ \\ \\ AB^2 = 1 + 2.25 -\frac {3\sqrt 2} 2 \\ \\ AB^2 = 3.25 - \frac {3\sqrt 2} 2 \\ \\ \sqrt 2 \approx 1.4 \\ \\ AB^2 \approx 3.25 - \frac{3 \cdot 1.4}{2} \approx 3.25 - 3 \cdot 0.7 \approx 1.15 \\ \\ AB \approx \sqrt{1.15} \approx 1.07 ~dm$

Рассмотрим ΔBOC

∠BOA и ∠BOC - смежные ⇒ ∠BOA + ∠BOC = 180° ⇒ ∠BOC = 180° - ∠BOA = 180° - 45° = 135°

Найдём BC по теореме косинусов:

c = BC, a = BO, b = CO, cos ∠ab = cos ∠BOC

$\displaystyle BC^2 = BO^2 + CO^2 - 2\cdot BO\cdot CO \cdot \cos \angle BOC \\ \\ BC^2 = (1.5)^2 + 1 - 2 \cdot 1.5\cdot 1 \cdot \cos 135^\circ \\ \\ BC^2 = 3.25 + 3\cdot \cos 45^\circ = 3.25 + \frac{3\sqrt{2}}{2} \\ \\ \sqrt 2 \approx 1.4 \\ \\ BC^2 \approx 3.25 + 2.1 \approx 5.35 \\ \\ BC \approx \sqrt{5.35} \approx 2.31~dm$

В параллелограмме стороны попарно равны ⇒ CD = AB ≈ 1.07 дм и DA = BC ≈ 2.31 дм

Ответ: 1.07 дм, 2.31 дм, 1.07 дм, 2.31 дм