Question

По четырем заданным точкам А1(-2,1,2), А2(4,0,0), А3(3,2,7),А4(1,3,2), построить пирамиду и средствами векторной алгебры и аналитической геометрии найти: 1)Уравнение плоскости проходящей: А) через прямую А2А3 и точку А1, Б) через три точки А2,А3,А4; 2) угол между прямыми А1А2 и А2А4; 3) расстояние от точки А1 до плоскости А2А3А4;

Answer 1

1) Уравнение плоскости проходящей: через прямую А2А3 и точку А1.

Точки: А1(-2,1,2), А2(4,0,0), А3(3,2,7).

Вектор А1А2 = (6; -1; -2), вектор А1А3 = (5; 1; 5).

x + 2      y - 1     z - 2 |      x + 2      y - 1

  6          -1          -2  |         6            -1

  5           1           5  |          5            1   =    

= (x + 2)*(-5) + (y -  1)*(-10) + (z -2)*6 - (y - 1)*30 - (x + 2)*(-2) - (z - 2)*(-5) =

= -5x - 10 - 10y + 10 + 6z - 12 - 30y + 30 + 2x + 4 + 5z - 10 =

= -3x - 40y + 11z + 12.

Получаем уравнение плоскости А1А2А3: -3x - 40y + 11z + 12 = 0.

Б) через три точки А2,А3,А4.

Точки А2(4,0,0), А3(3,2,7),А4(1,3,2).

Вектор А2А3 = (-1; 2; 7), вектор А2А4 = (-3; 3; 2).

Через смешанное векторное произведение (как в пункте А) находим уравнение плоскости А2А3А4:

-17x - 19y + 3z + 68 = 0.

2) угол между прямыми А1А2 и А2А4.

Точки А1(-2,1,2), А2(4,0,0),  А3(3,2,7), А4(1,3,2)

Вектор А1А2 = (6; -1; -2), модуль = √(36+1+4) = √41.

вектор А2А4 = (-3; 3; 2), модуль = √(9+9+4) = √22.

Скалярное произведение равно: -18-3-4 = -25.

cos α = |-25|/(√41*√22) = 0,8324.

α = 0,5874 радиан = 33,653°.

3. Объем пирамиды  

           x y z

A1А2*A1А3 -3 -40   11

   A1А4          3    2   0

Произвед -9 -80    0      Модуль равен 89.

V = (1/6) * 89 =  14,83333333.

4. Длины высот пирамиды   H=3V/Sосн

  Площади граней    

                                a1  a2  a3       S =

ABC [AB ; AC]= -3 -40   11 20,79663434

АВD [AB ; AD]= 4 -6  15 8,321658489

АСD [AC ; AD]= -10 15 7 9,669539803

BCD [BC ; BD]= -17 -19 3 12,83549765

Высота, опущенная на грань А2А3А4 равна:

h = (3*(89/6))/12,835 =  3,466947773 .