Question

(a-3)*4^x-8*6^x+(a+3)9^x=0помогите решить при каких значениях а уравнение не имеет корней

Answer 1

$(a-3)\cdot4^x-8\cdot6^x+(a+3)\cdot9^x=0\\(a-3)\cdot(2^2)^x-8\cdot(2\cdot3)^x+(a+3)\cdot(3^2)^x=0\\(a-3)\cdot(2^x)^2-8\cdot2^x\cdot3^x+(a+3)\cdot(3^x)^2=0$

Для удобства произведём замену переменных:

$2^x=p,\;3^x=q,\;p>0,\;q>0\\\\(a-3)p^2-8pq+(a+3)q^2=0$

Рассмотрим последнее уравнение как квадратное в отношении переменной p (можно и в отношении q - результат будет тот же). Оно не будет иметь корней, если его дискриминант будет отрицательным.

$D=(8q)^2-4\cdot(a-3)\cdot(a+3)q^2=64q^2-4q^2(a^2-9)=64q^2-4a^2q^2+36q^2=\\=100q^2-4a^2q^2=4q^2\cdot(25-a^2)=4q^2(5-a)(5+a)$

Решение задачи сводится к решению неравенства $4q^2(5-a)(5+a)<0$. Очевидно, что множитель 4q² будет положительным при любых q≠0. Однако ранее мы определили, что q>0, значит этот множитель не влияет на неравенство, и мы можем его отбросить.

$(5-a)(5+a)<0$

Получаем три интервала для a: $(-\infty;\;-5),\;(-5;\;5)\;u\;(5;\;+\infty).$

Проверив знаки на каждом интервале, получим, что последнее неравенство выполняется при $\boxed{a\in(-\infty;\;-5)\cup(5;\;+\infty)}$