Question

найти угол между прямой
$\frac{x-3}{-2} = \frac{y+4}{-1}=\frac{z+5}{3}$
и между прямой, которая задана двумя точками:
А (-2,-3,1) и В (1,1,1).

*хотелось бы, чтобы первую прямую привели в виде общего уравнения

Answer 1

Если a - направляющий вектор первой прямой, а b - направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

cos φ =   |a · b|/ |a| · |b|.  

Если дано каноническое уравнение прямой

( x - x0)/ l  =   (y - y0)/ m  =   (z - z0)/ n,  то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}.

Находим вектор АВ по точкам А (-2,-3,1) и В (1,1,1).

АВ = (1-(-2)=3; 1-(-3)=4; 1-1=0) = (3; 4; 0).

У первой прямой направляющий вектор дан в уравнении:

n = (-2; -1; 3).

Ответ: cos α = |3*(-2)+4*(-1)+0*3|/(√(9 + 16 + 0)*√(4 + 1 + 9)) =

                     = |-6 - 4 + 0|/5√14  = 10/5√14 = 2/√14 = 2√14/14 = √14/7.

α = arc cos(√14/7) = arc cos 0,5345 = 1,00685 радиан или  57,6885°.

Примечание. прямая в пространстве может быть в виде общих уравнений двух пересекающихся плоскостей.

Для решения данной задачи нужны направляющие векторы прямых.