Question

Найти общий интеграл однородного дифференциального уравнения

Answer 1

Ответ: y/x+1/ln/C*x/-1=0.

Объяснение:

Разделив обе части уравнения на x², получим уравнение dy=(y²/x²-y/x+1)*dx, или dy/dx=y²/x²-y/x+1. Положим y/x=z, тогда y=z*x, y'=dy/dx=z'*x+z и уравнение примет вид: z'*x+z=z²-z+1, или z'*x=(z-1)². Переписывая его в виде x*dz/dx=(z-1)² и разделив затем на произведение x*(z-1)², приведём его к виду dz/[dx*(z-1)²=1/x. Умножая обе части на dx, окончательно получим уравнение с разделёнными переменными: dz/(z-1)²=dx/x, или d(z-1)/(z-1)²=dx/x. Интегрируя обе части, находим -1/(z-1)=ln/x/+ln/C/, где C>0 - произвольная положительная постоянная. Полученное равенство можно переписать в виде 1/(1-z)=ln/C*x/. Отсюда z=y/x=1-1/ln/C*x/ и окончательно y/x+1/ln/C*x/-1=0.