Ответы
Даны координаты точек А, В, С, D :
A(-3, 2, 3), B(-3, 3, 2) , C(-2, 2, -2, D(-2, 5, 0).
а) Находим векторы АВ и АС: a = АВ = (0; 1; -1),b = АС = (1; 0; -5).
3a + b = (1; 3; -8), b - a = (1; -1; -4).
Скалярное произведение (3a + b) * (b - a) равно:
(3a + b) * (b - a) = 1*1 -3*1 +4*8 = 1 - 3 + 32 = 30.
Векторное произведение (3a + b) х (b - a) равно:
i j k| i j
1 3 -8| 1 3
1 -1 -4| 1 -1
= i -12 + j -8 + k -1
8 -4 3
= i -20 + j -4 + k -4 = (-20; -4; -4).
б) угол между векторами (3a + b) и (b - a).
cos α = |(3a + b) * (b - a)| / (|3a + b| * |b - a|) = 30/
Вектор (3a + b) = (1; 3; -8). Модуль равен √(1 + 9 + 64) =√74.
Вектор (b - a) = (1; -1; -4). Модуль равен √18.
Их скалярное произведение равно 30.
cos(АВ _ АС) = 30/(√74*√18) = 0,82199.
Угол равен arc cos 0,82199 = 0,6959 радиан или 34,715 градуса.
в) Площадь треугольника АВС равна (1/2) модуля векторного произведения АВ на АС.
i j k
0 1 -1
1 0 -5 = I + j + k =
-5 -1 -1
Модуль равен √(25 + 1 + 1) = √27 ≈ 5,19615.
S = 1/2√27 = 2,5980.
г) Коллинеарность векторов a = АВ = (0; 1; -1), b = АС = (1; 0; -5) проверяется равенством пропорций координат векторов:
0/1 ≈ 1/0 ≈ -1/-5, не коллинеарны.
Перпендикулярность проверяется по скалярному произведению, равному нулю, У нас это 30, не равно 0, не перпендикулярны ( это проверено в пункте б), где определён угол 34,715 градуса).
д) Уравнение плоскости АВС.
Определяется при решении системы:
x – x1 y – y1 z – z1
x2 – x1 y2 – y1 z2 – z1
x3 – x1 y3 – y1 z2 – z1.
Подставив координаты точек, получаем:
-5x + -1y + -1z + -10 = 0 или, умножив на -1,
5x + 1y + 1z + 10 = 0 .
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0
используем формулу: d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²).
Подставим в формулу данные:
d = |5·(-2) + 1·5 + 1·0 + 10| √(5² + 1² + 1²) = |-10 + 5 + 0 + 10|/√(25 + 1 + 1) =
= 5 /√27 = 5√3/ 9 ≈ 0,96225.
е) Объем пирамиды равен (1/6) смешанного произведения
(AB x AC ) *AD:
(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3.
x y z
AB x AC -5 -1 -1
AD 1 3 -3
Произвед -5 + -3 + 3 = 5
V = (1/6) * 5 = 5/6 ≈ 0,8333.
Расстояние от точки Д до плоскости АВС это высота пирамиды.
H = 3V / S(ABC) = (3*5/6) / (√27/2) = 5√27/27 ≈ 0,96225.