Нужно решить задачу "По кругу в некотором порядке стоит 27 знаков: 13 плюсов и 14 минусов. За одну операцию между каждыми двумя соседними знаками одновременно вписывают ещё по одному: между одинаковыми плюс, между разными минус. После этого исходные 27 чисел стирают. Докажите, что при помощи нескольких таких операций нельзя получить 27 плюсов"
Ответы
Допустим, что такое возможно и после нескольких операций мы получили 27 плюсов. Заметим, что количество минусов изначально чётно. Рассмотрим два произвольных соседствующих знака. Если это два минуса, то мы стираем их и записываем между ними плюс, в итоге уходят два минуса. Если эти знаки плюс и минус, стираем их и записываем между ними минус, то есть минус уходит, минус приходит. Таким образом видим, что чётность количества минусов сохраняется.Точно так же рассматриваем следующую пару соседних знаков. В итоге, за одну операцию мы сотрем удвоенное количество минусов и плюсов, так как каждый знак при таком подходе будет стираться дважды. На самом же деле мы сотрем исходные 14 минусов и на их место вновь придёт чётное количество минусов. По нашему предположению, мы получили в итоге 27 плюсов. Это означает, что на предпоследнем шаге у нас было 27 минусов, но 27 нечётное число, а число минусов у нас после каждой операции остается чётным. Следовательно, приходим к противоречию и 27 плюсов получить в конце нельзя.