Question

вышмат 1курс интегралы​

Answer 1

Ответ:

$\frac{5}{9\sqrt{3} }$

Пошаговое объяснение:

Нужно вычислить определённый интеграл:

$\int\limits^\frac{\pi }{4} _\frac{\pi }{6} {\frac{dx }{sin^{4}2x } } \,$

Введём замену: t=ctg2x и воспользуемся тождеством:

$sin^{2} \alpha=\frac{1}{1+ctg^{2} \alpha}$

В силу этого

$sin^{2} 2x=\frac{1}{1+ctg^{2} 2x} =\frac{1}{1+t^{2}}$

Вычислим границы интегрирования для t:

x=π/6 ⇒ t=ctg(2·π/6)=ctg(π/3)=1/√3

x=π/4 ⇒ t=ctg(2·π/4)=ctg(π/2)=0

Определим выражение для dx:

$dt=d(ctg2x)=-\frac{2dx}{sin^{2} 2x}$ ⇒

⇒ $dx=-\frac{1}{2} *sin^{2} 2xdt=-\frac{1}{2} *\frac{1}{1+t^{2} } dt$

Тогда получим следующий определённый интеграл:

$-\int\limits^0_\frac{1}{\sqrt{3} } {\frac{1}{(\frac{1}{1+t^{2}})^{2} }* } \, \frac{1}{2} *\frac{1}{1+t^{2} }dt =-\int\limits^0_\frac{1}{\sqrt{3} } {(1+t^{2}})^{2} }* } \, \frac{1}{2} *\frac{1}{1+t^{2} }dt =\\\\=-\frac{1}{2} *\int\limits^0_\frac{1}{\sqrt{3} } {(1+t^{2}})} } \, dt =\frac{1}{2} *\int\limits^\frac{1}{\sqrt{3} }_0 {(1+t^{2}})} } \, dt=$

$=\frac{1}{2} *(t+\frac{t^{3} }{3} )\left|_{0}^\frac{1}{\sqrt{3} } =\frac{1}{2} *(\frac{1}{\sqrt{3} }+\frac{(\frac{1}{\sqrt{3} })^{3} }{3} )-(\frac{1}{2} *(0+\frac{0^{3} }{3} ))=$

$=\frac{1}{2} *(\frac{1}{\sqrt{3} }+\frac{1}{9\sqrt{3} } )=\frac{1}{2} *\frac{10}{9\sqrt{3} }=\frac{5}{9\sqrt{3} }$