Question

Решите систему методом Гаусса
5x₁-x₂-x₃=0
x₁+2x₂+3x₃=14
4x₁+3x₂+2x₃=16

Answer 1

$\left\{\begin{matrix}5x_{1} - x_{2} - x_{3} = 0 \ \ \ \\ x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 14 \\ 4x_{1} + 3x_{2} + 2x_{3} = 16 \end{matrix}\right.$

Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду при помощи элементарных преобразований матрицы, которые выполняются над строками:

$\bar{A} = \begin{pmatrix}5  -1  -1  \ | \ 0 \\ 1 \ \ \ \  2 \ \ \ \ 3 \ | \ 14 \\ 4  \ \ \ \ 3 \ \ \ \ 2 \ | \ 16\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}5  -1  -1  \ | \ 0 \\ 16 -1 \ \ \ \ 0 \ | \ 14 \\ 14  \ \ \ 1 \ \ \ \  0 \  | \ 16\end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix}5  -1  -1  \ | \ 0 \\ 16 -1 \ \ \ \ 0 \ | \ 14 \\ 30  \ \ \ 0 \ \ \ \  0 \  | \ 30\end{pmatrix}$

Ранг матрицы: $\text{Rg} \ A = \text{Rg} \ \bar{A} = 3 = n,$ где $n$ - число неизвестных.

Система совместимая, значит, имеет единственное решение.

Ставим в соответствие расширенной матрице систему, эквивалентную выходной, решение которой совершаем снизу вверх:

$\left\{\begin{matrix}5x_{1} - x_{2} - x_{3} = 0\\ 16x_{1} - x_{2} = 14 \ \ \ \ \\ 30x_{1} = 30 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

$x_{1} = 1$

$16 - x_{2} = 14; \ x_{2} = 2$

$5 - 2 - x_{3} = 0; \ x_{3} = 3$

Ответ: $x_{1} = 1; \ x_{2} = 2; \ x_{3} = 3.$