Question

За якого найбільшого значення a функція y=xe^x є спадною на проміжку [a-5;a+3]?
Пояснення​

Answer 1

$y = xe^{x}$

Знайдемо похідну функції $y:$

$y' = (xe^{x})' = (x)'e^{x} + x(e^{x})' = e^{x} + xe^{x} = e^{x}(1 + x)$

Знайдемо критичні точки функції $y$. Для цього прирівняємо похідну до нуля:

$e^{x}(1 + x) = 0\\1) \ e^{x} = 0; \ x \in \varnothing \\2) \ 1 + x = 0; \ x = -1$

Знайдемо проміжки зростання і спадання функції:

Маємо два проміжки: $x \in (-\infty ; -1) \cup (-1; + \infty)$

Знайдемо значення похідної на проміжку $x \in (-\infty ; -1):$

$y' < 0$, отже, функція $y = xe^{x}$ є спадною на цьому проміжку.

Знайдемо значення похідної на проміжку $x \in (-1; + \infty):$

$y' > 0$, отже, функція $y = xe^{x}$ є зростаючою на цьому проміжку.

Для того щоб знайти найбільше значення $a$ на проміжку $[a - 5; \ a + 3]$, прирівняємо критичну точку $x = -1$ і $a + 3$, тобто $a + 3 = -1; \ a = -4$

Відповідь: $a = -4$