Question

Юра выписал вряд все натуральные числа от 1 до 1000000. Затем вычеркнул все числа, которые делятся либо на 3, либо на 7. Какое число будет двухтысячным по величине среди невычеркнутых чисел?​

Answer 1

Пусть это число N. Натуральных чисел от 1 до N всего N-1+1=N.

Кол-во натуральных чисел, не больших N, которые делятся на x, равно $\left[\dfrac{N}{x}\right]$, где $[A] -$ целая часть числа A.

Тогда, по формуле включения исключений, кол-во вычеркнутых чисел среди натуральных, не больших N, равно $\left[\dfrac{N}{3}\right]+\left[\dfrac{N}{7}\right]-\left[\dfrac{N}{21}\right]$.

Тогда

$N=2000+\left[\dfrac{N}{3}\right]+\left[\dfrac{N}{7}\right]-\left[\dfrac{N}{21}\right]\\ N=2000+\dfrac{N}{3}-\left\{\dfrac{N}{3}\right\}+\dfrac{N}{7}-\left\{\dfrac{N}{7}\right\}-\dfrac{N}{21}+\left\{\dfrac{N}{21}\right\}\\ \dfrac{4}{7}N-2000=\left\{\dfrac{N}{21}\right\}-\left\{\dfrac{N}{3}\right\}-\left\{\dfrac{N}{7}\right\}$

где $\{A\}$ - дробная часть числа A, $\{A\}\in[0;1), \: A=[A]+\{A\}$

Тогда

$0-1-1=-2<\dfrac{4}{7}N-2000<1-0-0=1\\ -3\dfrac{1}{2}<N-3500<1\dfrac{3}{4}\\ 3496 \dfrac{1}{2}<N<3501\dfrac{3}{4}\\ 3497\leq N\leq 3501$

$3498\vdots3,\;3501\vdots 3,\;3500\vdots 7=>N\neq3498,\;N\neq3500,\;N\neq3501$

Остается проверить 2 числа.

$\left[\dfrac{3497}{3}\right]+\left[\dfrac{3497}{7}\right]-\left[\dfrac{3497}{21}\right]=1165+499-166=1498\neq 3497-2000$  - не подходит

$\left[\dfrac{3499}{3}\right]+\left[\dfrac{3499}{7}\right]-\left[\dfrac{3499}{21}\right]=1166+499-166=1499= 3497-2000$ - верно.

Ответ: 3499