Question

Найти уравнение плоскости α, проходящей через точку M0=(3, 2, 1) и через заданную прямую: $\frac{x+1}{3} =\frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{4}$

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

В общем виде плоскость задается как

$Ax+By+Cz+1=0$

Из уравнения прямой получаем, для нашей прямой

$y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}\\z=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$

При подстановке в уравнение плоскости должно получаться тождество

$Ax+B(\frac{2}{3}x+\frac{5}{3})+C(\frac{4}{3}x+\frac{1}{3})+1=0$

То есть это уравнение должно быть вида 0x=0. Получаем

$A+\frac{2}{3}B+\frac{4}{3}C=0$

(коэффициент при x)

$\frac{5}{3}B+\frac{1}{3}C+1=0$

(свободный член)

Кроме того, плоскость должна проходить через точку M0:

$3A+2B+C+1=0$

Получаем систему линейных уравнений

$A+\frac{2}{3}B+\frac{4}{3}C=0\\\frac{5}{3}B+\frac{1}{3}C+1=0\\3A+2B+C+1=0$

Решение которой:

$A=0, B=-\frac{2}{3}, C=\frac{1}{3}$

Так плоскость задается уравнением

$-\frac{2y}{3}+\frac{z}{3}+1=0$

Или (что то же самое):

$-2y+z+3=0$