Question

Парабола y=ax²+bx+c проходит через точки (2002 , -32) и (m , 0) . Найдите значение m , если известно, что a , b , m - целые числа, причём m нечётно и меньше 2002.

Answer 1

Ответ: m=2001

Объяснение:

Поскольку парабола проходит  через точку (m ,0) , то  уравнение

a*x^2+b*x+c=0

Имеет один из корней равный m .  ( a*m^2+b*m+c=0)

Рассмотрим 1 случай :  a*x^2+b*x+c=0  имеет  два  корня .

Тогда второй корень возможно найти по теореме Виета :

x2= (-b/a  -m)

Тогда верно разложение :

y=ax²+bx+c= a*(x-m)*(x+m+b/a) = (x-m)*(a*(x+m) +b)

Мы  знаем что  парабола проходит через точку :

(2002 , -32)

Тогда :

(2002-m)*(a*(2002+m) +b)=-32

Поскольку  m <2002   и нечетное

(2002 -m) > 0   и (2002-m) - нечетно  ( разность четного  числа 2002 и нечетного  числа m нечетна)

Поскольку m,a,b - целые  

a*(2002+m)+b  так  же целое число.

Но  тогда ,  тк  -32= -(2^5)  

(2002-m)*(a*(2002+m) +b)  делится на -(2^5)

Поскольку 2002-m >0 и нечетно ,  то тк  2- простое число

a*(2002+m) +b <0  и делится на  все  эти 5 степеней двоек , то есть целиком делится на  -(2^5)

Таким образом возможен единственный вариант :

a*(2002+m) +b = -(2^5)

(2002 - m)=1

Таким образом : m=2001

2  cлучай :

a*x^2+b*x+c=0  имеет 1 корень.

y= a*(x-m)^2

-32 = a* (2002-m)^2

Но опять же  учитывая что

2002-m>0 и нечетно  

a=-(2^5)  

2002-m = 1

m=2001