Question

(Не только 5-9 класс, но и те, кто старше)

1) Докажите, что число (sqrt(3)-sqrt(2))^999 представимо в виде a*sqrt(3) - b*sqrt(2), причем 3a^2-2b^2=1.

2) Докажите, что число (sqrt(2)-1)^n представимо в виде sqrt(m+1) - sqrt(m), при m натуральном.


Прошу с хорошим объяснением.

Answer 1

1) Используем метод математической индукции .

Заметим, что утверждение     3*a^2-2*b^2= 1   верно для 1 степени :

(sqrt(3) -sqrt(2) )^1

В  этом случае :  a1=1 ; b1=1

3*1^2 -2*1^2=1 ( верно )

Предположим, что  данное утверждение верно  для  любого n=2k+1=m  

(sqrt(3)-sqrt(2))^(2k+1) = am*sqrt(3) -bm*sqrt(2) , где 3*am^2 -2*bm^2=1

Докажем справедливость  этого утверждения для n=2k+3= 2(k+1) +1

(sqrt(3)-sqrt(2))^(2k+3)= (am*sqrt(3) -bm*sqrt(2))*(sqrt(3)-sqrt(2) )^2  

Для  удобства  вычислений примем :  sqrt(3)=x ;  sqrt(2)=y

(am*x-bm*y)*(x^2-2*xy+y^2) =am*x^3 -2*am*x^2*y +am*x*y^2 -bm*x^2*y +2*bm*x*y^2 -bm*y^3 =  

=am*x^3 - (2*am+bm)*x^2*y +(2*bm+am)*y^2*x - bm*y^3

x^3 = 3*sqrt(3)=3x

y^3=2*sqrt(2)=2y

x^2*y= 3*sqrt(2)=3y

y^2*x=2*sqrt(3)=2x

3x*am -(2am+bm)*3y +(2*bm+am)*2x -2y*bm =(5am +4bm)*x -(6am +5bm)*y= (5am +4bm)*sqrt(3) -(6am +5bm)*sqrt(2)

Необходимо доказать , что  

3*(5am +4bm)^2 -2*(6am +5bm)^2 = 1 ,  зная что  3*am^2 -2*bm^2=1

3*(5am +4bm)^2 -2*(6am +5bm)^2 =

3*(5am +4bm)^2 -2*(6am +5bm)^2 +  (3*am^2 -2*bm^2) -( 3*am^2 -2*bm^2)=

= 3* ((5am +4bm)^2-am^2) -2*( (6am +5bm)^2-bm^2) +1 =  

=3*(4am+4bm)*(6am+4bm)  -2*(6am+6bm)*(6am+4*bm) +1 =

= 12*(am+bm)*(6am+4bm)  -12*(am+bm)*(6am+4*bm) +1  = 1

Таким  образом  мы  доказали ,  что утверждение  верно  для любого n=2k+1 .

999- число  нечетное  (999=2*k+1)

Значит утверждение  верно  и для   (sqrt(3)-sqrt(2))^999

Что и требовалось  доказать

2)  Запишем первые несколько членов :

   (sqrt(2) -1)^1= sqrt(2)-1

   ( sqrt(2)-1)^2 =   3-2*sqrt(2)

   (sqrt(2)-1)^3 = 2*sqrt(2) - 6 + 3*sqrt(2) -1 = 5*sqrt(2) -7

   (sqrt(2) -1)^4= (3-2*sqrt(2) )^2 = 17-12*sqrt(2)

Можно сделать предположение  , что  

 (sqrt(2) -1)^n =  (-1)^n * (  a-b*sqrt(2) )   ,  где   a^2-2*b^2= (-1)^n ( a,b -натуральные числа )

Для  n=1   (верно)

Предположим  справедливость утверждения  для n = k

(sqrt(2) -1)^k =  (-1)^k * (  ak-bk*sqrt(2) )  , где  ak^2-2*bk^2= (-1)^n                       (ak , bk -натуральные числа )

 Докажем его справедливость , для  n=k+1

(sqrt(2) -1)^(k+1) = (-1)^k * (  ak-bk*sqrt(2) ) * (sqrt(2) -1) =                                            

=(-1)^(k+1) *(bk*sqrt(2)-ak)*(sqrt(2)-1)   ( не  буду все время тащить  за собой

знаковую ''мигалку'' (-1)^(k+1) , отдельно упрощу основной множитель)

( bk*sqrt(2) -ak) * (sqrt(2) -1) =2bk -bk*sqrt(2)  -ak*sqrt(2) +a*k =                  

=(2bk+ak) - (bk+ak)*sqrt(2)

(sqrt(2) -1)^(k+1) = (-1)^(k+1) * ( (2bk+ak) - (bk+ak)*sqrt(2) )

ak+1= 2bk+ak - натуральное число

bk+1= bk+ak - натуральное число

Осталось  доказать , что

ak+1^2-2*bk+1^2=(-1)^(k+1)

(2bk+ak)^2 -2* (bk+ak)^2 = 4bk^2 +4*ak*bk +ak^2 -2*bk^2 -4*ak*bk -2*ak^2=

= 2bk^2 -ak^2 = -(ak^2 -2*bk^2) = (-1)*(-1)^k = (-1)^(k+1)

Таким образом мы доказали утверждение

 (sqrt(2) -1)^n =  (-1)^n * (  a-b*sqrt(2) )   ,  где   a^2-2*b^2= (-1)^n                           ( a,b -натуральные)

Пусть n -четно

(sqrt(2) -1)^n =  a-b*sqrt(2)   , где   a^2-2b^2= 1  ( a,b - натуральные)

Поскольку  a>0 и b >0 (они натуральны) ,  то можно сделать замену:

a= sqrt(m+1)  ;  b = sqrt(m/2)

Действительно :

a^2 =m+1

2*b^2 =m  

a^2-2*b^2 =m+1-m=1

Откуда видно, что m-натуральное число

Подставим исходные замены в выражение :

a-b*sqrt(2) = sqrt(m+1) -sqrt(m)  .

Таким образом для четных n утверждение верно.

Пусть n -нечетно

(sqrt(2) -1)^n= b*sqrt(2) -a , где    2*b^2-a^2 =1  (  a, b -натуральные)

Cделаем замену:

b=sqrt((m+1)/2) ;   a=sqrt(m)  ( m=a^2 - натуральное )

Подставляем :

b*sqrt(2) -a =  sqrt(m+1) -sqrt(m)

Таким образом данное утверждение справедливо для любого n .

Что и требовалось доказать