Question

Даны точки A(-1;-2;4) B(-4;-2;0) C(3;-2;1)

Найти:

а) вектор d=CA-CB, его модуль и направляющие косинусы, записать орт вектора d

б) скалярное произведение векторов (CA-CB)×(BC+AB)

в) векторное произведение векторов [(CA-CB)×(BC+AB)]

г) смешанное произведение векторов ([AB, CB] CA)

д) найти внутренние углы треугольника cos A, cos B, cos C

Answer 1

а)

$\vec{CA}=\{-1-3;-2+2;4-1\}=\{-4;0;3\}\\\vec{CB}=\{-4-3;-2+2;0-1\}=\{-7;0;-1\}\\\vec{d}=\{-4+7;0-0;3+1\}=\{3;0;4\}\\|\vec{d}|=\sqrt{3^2+0^2+4^2} =\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\cos\alpha=\frac{3}{5}\\cos\beta=0\\cos\gamma=\frac{4}{5}\\\hat{d}=\frac{\vec{d}}{|\vec{d}|} =\{\frac{3}{5};0;\frac{4}{5}\}$

б)

$\vec{BC}=\{3+4;-2+2;1-0\}=\{7;0;1\}\\\vec{AB}=\{-4+1;-2+2;0-4\}=\{-3;0;-4\}\\\vec{BC}+\vec{AB}=\{7-3;0+0;1-4\}=\{4;0;-3\}\\(\vec{CA}-\vec{CB})\cdot(\vec{BC}+\vec{AB})=\{3\cdot 4;0\cdot 0;4 \cdot (-3)\}=\{12,0,-12\}$

в)

$(\vec{CA}-\vec{CB})\times(\vec{BC}+\vec{AB})=\begin{vmatrix}i&j&k\\3&0&4\\4&0&-3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&4\\0&-3\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}3&4\\4&-3\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}3&0\\4&0\end{vmatrix}\vec{k}=(0-0)\vec{i}-(-9-16)\vec{j}+(0-0)\vec{k}=25\vec{j}$

г)

$\vec{AB}=\{-3;0;-4\}\\\vec{CB}=\{-7;0;-1\}\\\vec{CA}=\{-4;0;3\}\\([AB, CB] CA)=\begin{vmatrix}-3&0&4\\-7&0&1\\-4&0&-3\end{vmatrix}=0$

д)

$\vec{AB}=\{-3;0;-4\}\\\vec{AC}=\{4;0;-3\}\\cos A=\frac{-12+0+12}{|\vec{AB}|\cdot |\vec{AC}|} =0\\A=90^\circ\\\\\vec{BA}=\{3;0;4\}\\\vec{BC}=\{7;0;1\}\\cos B=\frac{21+0+4}{|5|\cdot |\sqrt{50} |} =\frac{25}{5\cdot 5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\B=45^\circ\\\\C=180^\circ-(A+B)=45^\circ$