Даны координаты вершин пирамиды А1(4;3;6) А2(4;9;4) А3(5;10;3) А4(3;1;3)
а)Найдите угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3
б)Уравнение высоты опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3
Ответы
Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. АВСD :
А1(4;3;6), А2(4;9;4), А3(5;10;3), А4(3;1;3).
Для удобства назовём их АВСD.
А(4;3;6), B(4;9;4), C(5;10;3), D(3;1;3).
а)Найдите угол между ребром А1А4 (AD) и гранью А1А2А3 (ABC).
Находим векторы АВ и АС.
АВ = (0; 6; -2), АС = (1; 7; -3).
Их векторное произведение равно.
i j k | i j
0 6 -2 | 0 6
1 7 -3 | 1 7 = -18i - 2j + 0k - 0j + 14i - 6k = -4i - 2j - 6k.
Нормальный вектор к плоскости АВС равен (-4; -2; -6).
Модуль равен √((-4)²+ (-2)² + (-6)²) = √(16 + 4 + 36) = √56 ≈
7,483.
Вектор АD
x y z Модуль
-1 -2 -3 √14 ≈ 3,74166
.
cos α = (-1*(-4) + (-2)*(-2) + (-3)*(-6))/(√14*√56) =
= (4 + 4 + 18)/(√14*2√14) = 26/28 =
13/14 ≈ 0,9286.
α = 0,38025 радиан или 21,7868 градуса
.
б)Уравнение высоты, опущенной из вершины А4 (D) на грань А1А2А3 (ABC).
Её направляющий вектор найден - он равен нормальному вектору плоскости АВС(-4; -2; -6).
Используем координаты точки D(3; 1; 3).
Уравнение высоты DH: (x – 3)/(-4) = (y – 1)/(-2) = (z – 3)/(-6).