Question

Помогите решить:


Найдите значение a, при каждом из которых система уравнений


{ (xy^2 - 2xy - 4y + 8)/√(x+4) = 0

{ y = ax


имеет ровно два различных решения


18 задание из ЕГЭ с параметрами

Answer 1

Ответ:

1; 1/2; 1/4

Пошаговое объяснение:

ОДЗ уравнения: х<>4

преобразуем первое уравнение:

$xy(y - 2) - 4(y - 2) = 0 \\ (xy - 4)(y - 2) = 0 \\ y_{1} = 2 \\ x_{1} = \frac{2}{a} \\ xy - 4 = 0$

подставим y из второго уравнения:

$a {x}^{2} - 4 = 0 \\ x_{2} = \frac{2}{ \sqrt{a} } \\ y_{2} = 2 \sqrt{a} \\x_{3} = -\frac{2}{ \sqrt{a} } \\ y_{3} = - 2 \sqrt{a}$

два решения будет в том случае когда пара корней совпадает, или же когда один из корней не удовлетворяет ОДЗ:

совпадать может только корни 1 и 2:

$\frac{2}{a} = \frac{2}{ \sqrt{a} } \\ a = 1$

корни 1 и 2 могут не удовлетворять ОДЗ (корень 3 всегда отрицательный).

корень 1:

$\frac{2}{a} = 4 \\ a = \frac{1}{2}$

корень 2:

$\frac{2}{ \sqrt{a} } = 4 \\ \sqrt{a} = \frac{1}{2} \\ a = \frac{1}{4}$