Question

Существуют ли натуральные числа M,N,K при которых выполняется равенство
1/m+1/n+1/k=1/m+n+k

Answer 1

$\dfrac{\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{k}}{3}\geq \sqrt[3]{\dfrac{1}{m}\dfrac{1}{n}\dfrac{1}{k}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{mnk}}$

Тогда $\dfrac{1}{m+n+k}\geq \dfrac{3}{\sqrt[3]{mnk}}\\ m+n+k\leq \dfrac{1}{3}\sqrt[3]{mnk}$

С другой стороны $m+n+k\geq 3\sqrt[3]{mnk}$

Тогда $3\sqrt[3]{mnk}\leq \dfrac{1}{3}\sqrt[3]{mnk}\\ 2\dfrac{2}{3} \sqrt[3]{mnk}\leq 0\\ m,n,k\in N=>mnk> 0$ - противоречие

А значит таких чисел не существует.