Question

Найдите все значения a и b, при которых уравнения x(x^2-4x-1)=a и x(x-1)=b имеют два общих корня. В ответе укажите наибольшее возможное значение a+b.

Answer 1

Ответ:

a + b = -8

Объяснение:

1 уравнение

x^3 - 4x^2 - x - a = 0

2 уравнение

x^2 - x - b = 0

Если они имеют 2 общих корня, то 2 уравнение имеет 2 корня.

D = 1^2 - 4(-b) = 4b + 1

x1 = (1 - √(4b+1))/2

x2 = (1 + √(4b+1))/2

И оба этих корня должны подходить к 1 уравнению.

Подставляем x1 и x2, получаем систему

{ (1 - √(4b+1))^3/8 - 4*(1 - √(4b+1))^2/4 - (1 - √(4b+1))/2 - a = 0

{ (1 + √(4b+1))^3/8 - 4*(1 + √(4b+1))^2/4 - (1 + √(4b+1))/2 - a = 0

Раскрываем скобки

{ (1-3√(4b+1)+3(4b+1)-(4b+1)√(4b+1))/8-(1-2√(4b+1)+(4b+1))-1/2+√(4b+1)/2-a=0

{ (1+3√(4b+1)+3(4b+1)+(4b+1)√(4b+1))/8-(1+2√(4b+1)+(4b+1))-1/2-√(4b+1)/2-a=0

После нескольких тождественных преобразований получаем:

{ -5b/2 - 2 - b√(4b+1)/2 + 2√(4b+1) - a = 0

{ -5b/2 - 2 + b√(4b+1)/2 - 2√(4b+1) - a = 0

Складываем уравнения

-5b/2 - 2 - b√(4b+1)/2 + 2√(4b+1) - a - 5b/2 - 2 + b√(4b+1)/2 - 2√(4b+1) - a = 0

-5b - 4 - 2a = 0

a = -5b/2 - 2

Подставляем в любое уравнение

-5b/2 - 2 - b√(4b+1)/2 + 2√(4b+1) + 5b/2 + 2 = 0

- b√(4b+1)/2 + 2√(4b+1) = 0

b = 4

a = -5*4/2 - 2 = -10 - 2 = -12

Сумма a + b = 4 - 12 = -8