Question

Найти длину параболической линии между точками с абсциссами x = 0 и x = 1. y=x^2+10x+1,

Answer 1

длина дуги кривой вычисляется по формуле:

\[ l=\int\limits_{a}^{b}{\sqrt{1+{{\left( {f}'\left( x \right) \right)}^{2}}}dx} \]

Производная заданной функции равна y' = 2x + 10.

Длина кривой равна $L = \int\limits^1_0 {\sqrt{1+(2x+10)^2} } \, dx$

Сложность в определении интеграла выражения с корнем.

В результате имеем выражение с гиперболическим синусом.

L = (1/2)√(4(x+5)²+1)*(x+5) + (1/4)sinh^(-1)(2x + 10)|0; 1.

Подставив пределы от 0 до 1 получим L = 11,0455.

Для проверки определим длину ходы между точками параболы при х = 0 и х = 1.

L = √(1² + 11²) = √122 ≈ 11,04536.

Как видим, отличие кривой от прямой очень малое.