Question

α = 0.123456789101112131415161718192021222324252627282930...

Доказать или опровергнуть иррациональность α.

Пожалуйста, только строгое доказательство, не "Видно, же".

Answer 1

Допустим, что число - бесконечная периодическая дробь. Тогда, начиная с $k$-ой цифры, некоторая последовательность из $l$ цифр будет повторяться бесконечно. Очевидно, что, после $k$-ой цифры найдутся ненулевые цифры. А значит искомый период длины $l$ содержит хотя бы одну ненулевую цифру.

Также очевидно, что в десятичной записи присутствует число $10^{2l$. В нем одна 1, а за ней следуют $2l$ нулей.

Пусть в период входят одна 1 и $m\: (0\leq m<l)$ нулей этого числа. Но следующие $l$ цифр - нули (т.к. в предыдущее повторение периода вошло меньше, чем $l$ нулей, незадействованными остались $2l-m>2l-l=l$ подряд идущих нулей) - противоречие с тем, что в периоде есть ненулевая цифра.

А значит у дроби нет периода.

Т.к. она бесконечная (число натуральных чисел бесконечно), то иррациональная.

Ответ: число иррационально