Question

80 б. Решите хоть одно, но с объяснением.

Answer 1

2. $x=y=z=0:\\ 3f(0)=f(0)=>f(0)=0$

Введем функцию $\phi(x)=f(x)-x^2$

Тогда $\phi(x)+x^2+\phi(y)+y^2+\phi(z)+z^2+2xy+2xz+2zy=\phi(x+y+z)+(x+y+z)^2\\ \phi(x)+\phi(y)+\phi(z)=\phi(x+y+z)\\ x=0: \\ \phi(0)+\phi(y)+\phi(z)=\phi(y+z)=>\phi(y)+\phi(z)=\phi(y+z)$

Т.е. $\phi(x)$ удовлетворяет функциональному уравнению Коши. А значит  $\phi(x)=cx,\: c - Const$ (в классе непрерывных функций других решений нет).

Тогда $f(x)=cx+x^2$

$f(1)=2=>2=c+1=>f(x)=x^2+x$

3. Если в область определения входит 0, то

$f(0)=f(0)+f(0)=>f(0)=0\\ x=0:\\ f(0)=f(0)+f(y)=>f(y)=0$

$f(x)=0$ - единственное решение.

Пусть функция не определена в 0.

$x=y=1:\\ f(1)=2f(1)=>f(1)=0\\ x=y=-1: f(1)=f(-1)+f(-1)=>f(-1)=0\\ y=-1:\\ f(-x)=f(x)+f(-1)=>f(x)=f(-x)$

Тогда для удобства ограничим область определения функции положительными числами (а при отрицательном значении аргумента функция примет модуль числа)

$x=e^k,y=e^l:\\ f(e^ke^l)=f(e^k)+f(e^l)=>f(e^{k+l})=f(e^k)+f(e^l)\\ \phi(x)=f(e^x)=>\phi(k+l)=\phi(k)+\phi(l)$

Т.е. $\phi(x)$ удовлетворяет функциональному уравнению Коши. А значит  $\phi(x)=cx,\: c - Const$ (в классе непрерывных функций других решений нет).

$f(e^x)=cx=>[x=lnt]=>f(t)=c\cdot lnt$

Вернем исходную область определения функции, заменив переменную на ее модуль: $f(x)=c\cdot ln|x|$

4. Очевидно, что $g(x)=0$ - одно из решений.

Пусть $g(x)\neq 0$

$x=\dfrac{t}{2}=y:\\ g(t)=(g(\dfrac{t}{2}))^2=>g(x)>0$

Значит можно логарифмировать

$lng(x+y)=ln(g(x)g(y))=lng(x)+lng(y)\\ \phi(x)=lng(x)\\ \phi(x+y)=\phi(x)+\phi(y)$

Т.е. $\phi(x)$ удовлетворяет функциональному уравнению Коши. А значит  $\phi(x)=cx,\: c - Const$ (в классе непрерывных функций других решений нет).

$cx=lng(x)=>g(x)=e^{cx}=a^x,a-Const$