Question

Найти все решение в целых числах x, y, z системы двух уравнений
x+y+z=3, x^3+y^3+z^3=3

Answer 1

Ответ:

$(1, 1, 1)$, $(-5, 4, 4)$ с точностью до перестановки.

Пошаговое объяснение:

Из уравнения

$x+y+z=3$

следует, что среди чисел $x, y, z$ либо все нечетные, либо одно.

Заметим, что

$(x+y+z)^3-(x^3+y^3+z^3)=3(x+y)(y+z)(z+x)$

Из нашего условия это преобразуется как

$8=(3-x)(3-y)(3-z)$

Но мы знаем, что среди чисел $(3-x),(3-y),(3-z)$ либо все четные, либо одно. Если четны все, то они могут быть равны только $\pm 2$ в этом случае числа $x,y, z$ могут быть равны с точностью до перестановки только $(1,1,1)$ или $(5, 5, 1)$. Второе решение не подходит в исходное уравнение, поэтому его отметаем. Если же среди чисел $(3-x),(3-y),(3-z)$ только одно четное, то оно обязано быть равно $\pm 8$, а остальные - $\pm 1$. В этом случае $x,y,z$ равны $(-5,2,2)$, $(-5,4,4)$, $(11,2,4)$. Из этих троек нам подходит только вторая.

В итоге, решений всего два.