Question

решить уравнение 31 балл!
$\sqrt{ \sin(2x) } + \cos(x) = 0$
​

Answer 1

$\sqrt{\big{sin2x}}+cosx=0\\\\\sqrt{\big{sin2x}}=-cosx\\\\\left\{{\bigg{\Big({\sqrt{\big{sin2x}}\:\Big)^2=\Big(\big{-cosx}\Big)^2}}\atop{\big{-cosx\geq0}}}\right.\:\:\:\:\Leftrightarrow\:\:\:\:\:\left\{{{\bigg{sin2x=cos^2x}\:\:\:\:\:\:\:\:\big[\;\big1\:\big]}\atop{\big{cosx\leq0}}}\right.\\\\\\\big[\:\big1\:\big]\:\:\:sin2x=cos^2x\\\\2*sinx*cosx-cos^2x=0\\\\cosx*\Big(2sinx-cosx\Big)=0\\\\1)\:\:\:cosx=0\\\\\boxed{\:\:x\:_k=\frac{\big{\pi}}{\big2}+\pi\:k\:\:,\:\:\:\:k\:\in\:\mathbb{Z}\:\:}$              

cosx ≤ 0  во втором и третьем  коорд. четвертях

$2)\:\:\:2sinx-cosx=0\:\:\:\:|\:\::sin\neq0\\\\2-ctgx=0\:\:\:\:\Leftrightarrow\:\:\:\:ctgx=2\:\:\:\:\Leftrightarrow\:\:\:\:x\:_m=arcctg2+\pi\:m\:\:,\:\:\:\:m\:\in\:\mathbb{Z}\\\\\boxed{\:\:x\:_t=\pi+arcctg2+2\pi\:t\:\:,\:\:\:\:t\:\in\:\mathbb{Z}\:\:}$