Question

Линейная алгебра
Решить систему уравнений и выделить общее решение соответствующей однородной системы и частное решение неоднородной.

6х-14y+17z+36t=33
12x-28y+28z+27t=72
18x-42y+39z+18t=111

С разъяснением, пошагово

Answer 1

Решить систему уравнений $\left\{\begin{matrix}6x-14y+17z+36t=33, \\ 12x-28y+28z+27t=72, \\ 18x-42y+39z+18t=111\end{matrix}\right.$ и выделить общее решение соответствующей однородной системы и частное решение неоднородной.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и будем выполнять элементарные преобразования строк данной матрицы.

$\overline{A} =\begin{pmatrix}\begin{matrix}6 \\ 12 \\ 18 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}-14 \\ -28 \\ -42 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}17 \\ 28 \\ 39 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}36 \\ 27 \\ 18 \end{matrix} \ \begin{matrix}| \\ | \\ |\end{matrix} \ \begin{matrix}33 \\ 72 \\ 111 \end{matrix}\end{pmatrix} \sim$  $\begin{pmatrix}\begin{matrix}6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}-14 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}17 \\ -6 \\ -12 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}36 \\ -45 \\ -90 \end{matrix} \ \begin{matrix}| \\ | \\ |\end{matrix} \ \begin{matrix}33 \\ 6 \\ 12 \end{matrix}\end{pmatrix} \sim$  $\begin{pmatrix}\begin{matrix}6 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}-14 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}17 \\ 6 \\ 0 \end{matrix} \ \ \begin{matrix}36 \\ 45 \\ 0 \end{matrix} \ \begin{matrix}| \\ | \\ |\end{matrix} \ \begin{matrix}33 \\ -6 \\ 0 \end{matrix}\end{pmatrix}.$

Вычислим ранг данной матрицы: $\text{Rg} \ \overline{A} = r = 2 < n = 4,$ где $n$ - число неизвестных. Система имеет нетривиальные решения. Базисный минор $\begin{vmatrix}-14 \ \ 17 \\ \ \ 0 \ \ \ \ 6\end{vmatrix}.$

Ставим в соответствие расширенной матрице упрощенную систему:

$\left \{ {\bigg{6x - 14y + 17z + 36t = 33,} \atop \bigg{6z + 45t = -6, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

где $y, \ z$ - базисные переменные, $x, \ t$ - свободные переменные.

Положив значения свободных переменных $x, \ t$ равными нулю, получим частное решение неоднородной системы: $x=0, \ y = -\dfrac{25}{7}, \ z = -1, \ t = 0.$

$\left \{ {\bigg{6x - 14y = 33-36t-17z,} \atop \bigg{z = \dfrac{-6-45t}{6}; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {\bigg{6x - 14y = 33-36t-17(-1-7,5t) =50+91,5t,} \atop \bigg{z = -1-7,5t; \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

$\left \{ {\bigg{y=\dfrac{6x-50-91,5t}{14}, } \atop \bigg{z=-1-7,5t. \ \ \ \ \ \ \ \ }} \right.$

Общее решение: $y = \dfrac{6x-50-91,5t}{14}, \ z = -1-7,5t, \ x \in R, \ t \in R.$

Ответ:  $y = \dfrac{6x-50-91,5t}{14}, \ z = -1-7,5t, \ x \in R, \ t \in R$ - общее решение; $x=0, \ y = -\dfrac{25}{7}, \ z = -1, \ t = 0$ - частное решение.