Ответы
Ответ: e^(1/4).
Пошаговое объяснение:
При x⇒0 выражение в скобках стремится к 1, а показатель - к ∞, поэтому имеем здесь неопределённость вида 1^∞. Так как при x⇒0 бесконечно малые величины ln(1+2*x²) и 2*x² эквивалентны, то при вычислении предела можно заменить ln(1+2*x²) на 2*x². Далее, так как 2-cos(x)=1+2*sin²(x/2), а при x⇒0 бесконечно малые величины sin(x/2) и x/2 эквивалентны, то sin(x/2) можно заменить на x/2, и тогда выражение в скобках примет вид 1+2*(x/2)²=1+x²/2. Таким образом, задача сводится к нахождению предела выражения (1+x²/2)^[1/(2*x²)]. Положим x²/2=t, тогда при x⇒0 t⇒0 и выражение принимает вид (1+t)^[1/(4*t)]=[(1+t)^(1/t)]^1/4. Предел выражения в скобках [ ] при t⇒0 есть ни что иное, как второй замечательный предел, равный e, поэтому искомый предел равен e^(1/4).