50 балов!!!
Докажите, что прямые АВ и СD, показанные нарисунке с клетчатой бумагой, перпендикулярны друг
другу.
Ответы
Объяснение: Введем дополнительные обозначения. Обозначим точку пересечения АВ и СD буквой О, а квадрат со сторонами 3 клетки, содержащий эти прямые, АСЕF (см. приложенный рисунок )
Соединив поочередно указанные на рисунке точки, получим четырехугольник АСВD. По т. Пифагора из ∆ АСВ гипотенуза АВ=√13, по т. Пифагора из ∆ АЕD гипотенуза СD=√13.
Площадь квадрата со стороной 3 клетки=9 клеток. Вычислим площади ∆ ВЕD и ∆ ADF (сделайте это несложно, т.к. они по рисунку прямоугольные). Вычтя их из площади квадрата АСЕF , получим площадь четырехугольника АСВD=6,5 (клеток).
По одной из формул площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
АВ•CD•sin(AOD)/2=6,5 ⇒
√13•√13•sin(AOD)/2=6,5, откуда sin(AOD)=6,5•2/13=1. Это синус 90°. ⇒
АВ и СD пересекаются под прямым углом, т.е. они перпендикулярны друг другу, ч.т.д.
Примечание: Наверняка есть и другой способ решения.
