Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА !! Теория вероятностей

Answer 1

$F(x)=\left\{\begin{array}{lll}0\; ,\; \; \; x\leq 0\; ;\\x^3\; ,\; 0<x\leq 1\; ;\\1\; ,\; \; \; x>1\; .\end{array}\right\\\\\\f(x)=F'(x)=\left\{\begin{array}{lll}0\; \; ,\; \; x\leq 0\; ;\\3x^2\; ,\; 0<x\leq 1\; ;\\0\; \; ,\; \; x>1\; .\end{array}\right$

Функция плотности обладает свойством:   $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, f(x)\, dx=1$  . Проверим его выполнение, учитывая свойство аддитивности интеграла:

$\int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, f(x)\, dx=\int\limits^0_{-\infty }\, 0\cdot dx+\int\limits^1_0\, 3x^2\, dx+\int\limits^{+\infty }_1\, 0\cdot dx=0+\frac{3x^3}{3}\Big |_0^1+0=1$

Мы убедились в том, что действительно полученная функция  f(х) - плотность непрерывной случайной величины.

$M(X)=\int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, x\cdot f(x)\, dx=\int\limits^1_0\, x\cdot 3x^2\, dx=\int\limits^1_0\, 3x^3\, dx=\frac{3x^4}{4}\Big |_0^1=\frac{3}{4}\\\\\\D(X)=\int\limits^{+\infty }_{-\infty }\, x^2\cdot f(x)\, dx-\Big (M(x)\Big )^2=\int\limits^1_0\, x^2\cdot 3x^2\, dx-\Big (\frac{3}{4}\Big )^2=\\\\=\int\limits^1_0\, 3x^4\, dx-\frac{9}{16}=\frac{3x^5}{5}\Big |_0^1-\frac{9}{16}=\frac{3}{5}-\frac{9}{16}=\frac{3}{80}\\\\\\\sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{\frac{3}{80}}\approx 0,0375$