Question

Постройте график и опишите свойства функции
1)f(x)=-x^2-4x+6
2)f(x)=-2x^2-4x+1​

Answer 1

$1) \ f(x) = -x^{2} - 4x + 6$ — квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз.

• Область определения — ℝ (все действительные числа)

$x_{0} = \dfrac{4}{-2} = -2$

$y_{0} = -(-2)^{2} - 4 \cdot (-2) + 6 = -4 + 8 + 6 = 10$

• Точка $(-2; \ 10)$ — вершина параболы заданной функции

• Область значений — $(- \infty ; \ 10]$

• $f(-x) = -(-x)^{2} - 4(-x) + 6 = -x^{2} + 4x + 6 = -(x^{2} - 4x - 6)$ — функция $f(x)$ ни четная, ни нечетная.

• Функция $f(x)$  возрастает на промежутке $(- \infty; \ -2)$ и убывает на промежутке $(-2; \ +\infty)$

• Точки пересечения с осями координат:

— с осью ординат: $f(0) = 0^{2} - 4 \cdot 0 + 6 = 6$, то есть в точке $(0; \ 6)$

— с осью абсцисс: $-x^{2} - 4x + 6 = 0$

$x^{2} + 4x - 6 = 0\\D = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 16 + 24 = 40\\x_{1,2} = \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{10} }{2} = \dfrac{2(-2 \pm \sqrt{10} )}{2} = -2 \pm \sqrt{10} = \left[\begin{array}{ccc}x_{1} = -2 + \sqrt{10}\\x_{2} = -2 - \sqrt{10}\\\end{array}\right$

то есть в точках $(-2 + \sqrt{10}; \ 0)$ и $(-2 - \sqrt{10}; \ 0)$.

$2) \ f(x) = -2x^{2} - 4x + 1$ — квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз.

• Область определения — ℝ (все действительные числа)

$x_{0} = \dfrac{4}{2 \cdot (-2)} = -1$

$y_{0} = -2 \cdot (-1)^{2} - 4 \cdot (-1) + 1 = -2 + 4 + 1 = 3$

• Точка $(-1; \ 3)$ — вершина параболы заданной функции

• Область значений — $(- \infty ; \ 3]$

• $f(-x) = -2(-x)^{2} - 4(-x) + 1 = -2x^{2} + 4x + 1 = -(2x^{2} - 4x - 1)$ — функция $f(x)$ ни четная, ни нечетная.

• Функция $f(x)$  возрастает на промежутке $(- \infty; \ -1)$ и убывает на промежутке $(-1; \ +\infty)$

• Точки пересечения с осями координат:

— с осью ординат: $f(0) = -2\cdot 0^{2} - 4 \cdot 0 + 1 = 1$, то есть в точке $(0; \ 1)$

— с осью абсцисс: $-2x^{2} - 4x + 1 = 0$

$2x^{2} + 4x - 1 = 0\\D = 4^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24\\x_{1,2} = \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{6} }{2 \cdot 2} = \dfrac{2(-2 \pm \sqrt{6} )}{4} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{6} }{2} = \left[\begin{array}{ccc}x_{1} = \dfrac{-2 + \sqrt{6} }{2}\\x_{2} = \dfrac{-2 - \sqrt{6} }{2}\\\end{array}\right$

то есть в точках $\bigg(\dfrac{-2+\sqrt{6} }{2} ; \ 0 \bigg)$ и $\bigg(\dfrac{-2-\sqrt{6} }{2} ; \ 0 \bigg)$.