Question

Пожалуйста. Алгебра 7 класс. Укажите при каком наименьшем натуральном k значение выражения:

1)(k-3)^2-(k+3)^2 делится на 15;

2)(7k+2)^2-(7k-2)^2 делится на 21?

Answer 1

Воспользуемся формулой разности квадратов: $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$

$1) \ (k - 3)^{2} - (k + 3)^{2} = (k - 3 - k - 3)(k - 3 + k + 3) = -6 \cdot 2k = -12k$

Так как $k$ — натуральное число, то найдем наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12 и 15:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\\15 = 3 \cdot 5$

НОК (12; 15) = $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$

Следовательно, $k = 60 : 12 = 5.$

$2) \ (7k + 2)^{2} - (7k - 2)^{2} = (7k + 2 - 7k + 2)(7k + 2 + 7k - 2) = 4 \cdot 14k = 28k$

Аналогично, найдем НОК чисел 28 и 21:

$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7\\21 = 3 \cdot 7$

НОК (28; 21) = $2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 3 = 84$

Следовательно, $k = 84 : 28 = 3$

Ответ: $1) \ 5; \ 2) \ 3.$