У Лёши есть сто карточек, на которых написаны числа 100, 101, 102, ..., 199. В первый день он выложил их вряд в порядке возрастания. А во второй день он переложил их так, что любые два соседних числа отличаются ровно одной цифрой, и их разность равна либо 1, либо 10. Какое наибольшее количество карточек могло остаться на своих местах?
Ответы
Ответ:
50.
Пошаговое объяснение:
Чтобы получить некое число 1xy в дес. записи на некой позиции во 2 день надо, чтобы до этого числа число разностей "1" между последовательными номерами (разность следующего и предыдущего числа) на y больше, чем число разностей "-1". Аналогично, число разностей "10" на x больше, чем число разностей "-10".
Рассмотрим произвольное число 1xy, где x -- нечётно. 1xy - 100 = xy --позиция числа в 1 день, если позиция 100 нулевая, а его позиция во 2 день равна (число разностей "1" между соседними числами) +( число разностей "-1" между соседними числами) +( число разностей "10" между соседними числами )+( число разностей "-10" между соседними числами ) = (число разностей "1" между соседними числами) +( число разностей "1" между соседними числами -y)+( число разностей "10" между соседними числами )+( число разностей "10" между соседними числами - x ) = x+ y по модулю 2. Число разностей считается до числа 1xy. Так как при нечётном x позиция числа в 1 день = y ( mod 2), а во 2 день: x+y=y+1 ( mod 2), то любую из 50 карточек с номером 1xy, где x нечётно, Леша передвинул. Итого он передвинул не менее 50 карточек.