Question

Последовательность an задаётся следующим образом: a1=2, a2=5 и для любого n>2 выполнено an=3an−2+an−1. Докажите, что при любом k выполнено неравенство 1/a1+1/a2+…+1/ak<1.

Answer 1

Ответ:

Доказательство в объяснении

Объяснение:

$a_{1}=2;a_{2}=5; a_{n}=3a_{n-2}+a_{n-1};n>2$

Докажем, что

$a_{n}>2^n;n\geq 2$

Используем метод мат. индукции:

$n=2:\\5>4$

Допустим, что утверждение верно до n=k:

$a_{2}>4;...;a_{k-1}>2^k^-^1;a_{k}>2^k$

Докажем для n=k+1, т.е.

$a_{k+1}>2^{k+1}$

Доказательство:

$a_{k+1}=a_{k}+3a_{k-1}>2^k+3*2^{k-1}>2^k+2*2^{k-1}=2^k+2^k=2^{k+1}$

Утверждение верно. Используем его в следующем:

$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_k}}<\frac{1}{2} +\frac{1}{4} +...+\frac{1}{2^k} =(\frac{1}{2} +\frac{1}{4} +...+\frac{1}{2^k} +\frac{1}{2^k})-\frac{1}{2^k}=1-\frac{1}{2^k}<1$