Найти разность наибольшего и наименьшего значений функци на отрезке [-2;0]
Ответы
f(x) = (x² + 3)/(x-1),
f'(x) = ( (2x)*(x-1) - (x² + 3)*1 )/(x-1)² = ( 2x² - 2x - x² - 3)/(x-1)² = (x² - 2x - 3)/(x-1)² =
= (x² + x - 3x - 3)/(x-1)² = ( x*(x+1) - 3*(x+1) )/(x-1)² = (x+1)*(x-3)/(x-1)²
_____________(-1)_______(1)________________(3)_____>x
f' + - - +
Рассматриваем функцию f(x) на отрезке [-2;0]:
[-2; -1] - функция возрастает,
[-1; 0] - функция убывает.
В т. x=-1, имеет максимум на отрезке [-2;0]
f(-1) = (1+3)/(-1-1) = 4/(-2) = -2. Это максимальное значение на отрезке [-2;0]
Минимум будет в одной из крайних точек отрезка: в т. x=-2 или в т. x=0.
f(-2) = ((-2)² + 3)/(-2-1) = (4+3)/(-3) = -7/3 = -2 - (1/3).
f(0) = 3/(-1) = -3.
Очевидно, что -3 < -2 - (1/3), поэтому минимум в точке x=0, и он равен -3.
Разность наибольшего и наименьшего значения = (-2) - (-3) = -2 + 3 = 1.
Ответ. 1.